第八讲 不确定性

Author

Affiliation

范翻

中央财经大学(CCFD)

期望效用

• 假定存在一系列不同状态的基本事件(events)\(i = 1, 2, \cdots, m\)；

• 记第\(i\)个基本事件发生的概率为\(p_i\)，这些概率非负且和为一；

• 与经济事件相关的实现结果通常是收入水平、财富或者决策者应得的利润\(Y_i\)，这些结果所带来的效用分别为\(U(Y_i)\)；

• 定义期望效用函数（冯·诺依曼-摩根斯坦效用）为：

\[ \sum_{i = 1}^m p_iU(Y_i) \]

风险规避

定义决策者是风险规避的，如果对于若干个事件\(Y_1, Y_2, \cdots, Y_m\)，有

\[ U(\sum_{i = 1}^m p_i Y_i) > \sum_{i = 1}^m p_i U(Y_i) \]

• 左边是期望收益的效用，右边是事件的期望效用；

• U在所有事件组成的集合中是（严格）凹的，换言之如果\(U\)是二次可微的，则\(U^{''} <0\)意味着风险规避。

最优保费问题 I

假设存在两个事件，其收益和发生概率分别为\(Y_1, Y_2\)和\(p_1, p_2\)，且\(Y_1 < Y_2\)。为了规避风险，决策者可以预付保费\(x\)，并在事件1发生时赔付\(X = x/p\)，在事件2发生时不赔付。 购买保险后的期望效用为：

\[ pU(Y_1 - x + x/p) + (1 - p)U(Y_2 - x) \]

用链式法则可以找到\(x\)为最优解的一阶条件

\[ pU^{'}(Y_1 - x + x/p) (1/p - 1) = (1 - p)U^{'}(Y_2 - x) \]

如果\(U^{''} < 0\)(风险规避者)，上述条件也是充分的，并且意味着

\[ Y_1 - x + x/p = Y_2 - x \]

因此，最优保费为\(x = p(Y_2 - Y_1)\)，即一个风险规避的决策者会购买保险，使得各个不同状态下的收益相等。

最优保费问题 II

假设保险不仅影响事件的收益，同时会影响事件的发生概率，即决策者可以通过一个预算的支出\(z\)降低坏结果1的概率（但不进行赔付）。例如，使用一个更可靠但更昂贵的产品，或者在有风险的活动中更加谨慎小心，而这种小心翼翼会带来负效用。

则目标函数变为

\[ O(z) \equiv p(z)U(Y_1 - z) + [1 - p(z)]U(Y_2 - z) \]

其中\(p(z)\)是关于\(z\)的递减函数。意味着随着保费的增加，坏结果1发生的概率会降低。

最优保费问题 III

此时对期望收益\(O(z)\)求导可得

\[ \begin{aligned} O^{'}(z) & = - p^{'}(z)[U(Y_2 - z) - U(Y_1 - z)] \\ & - \{p(z)U^{'}(Y_1 - z) + [1 - p(z)]U^{'}(Y_2 - z)\} \end{aligned} \]

• 第一项代表着谨慎行为或使用高质量产品的期望边际收益，是坏结果概率的边际减少乘以两种结果的效用差；

• 第二项是谨慎行为或使用高质量产品的期望边际成本。

最优保费问题 IV

假设保险和谨慎行为都存在，保险公司不能辨别人们是否谨慎行事，而只能观察到结果。如果存在保险经算上公平的保险，目标函数为

\[ O(x, z) \equiv p(z)U(Y_1 - z - x + x/p(z)) + [1 - p(z)]U(Y_2 - z - x) \]

关于\(x\)的一阶条件为

\[ Y_1 - z - x + x/p(z) = Y_2 - z - x \]

最优保费问题 V

关于\(z\)的一阶条件为

\[ \begin{aligned} O_z(x, z) & = - p^{'}(z) [U(Y_2 - z - x) - U(Y_1 - z - x + x/p(z))] \\ & - \{ p(z)U^{'}(Y_1 - z - x + x/p(z)) \\ & + [1 - p(z)]U^{'}(Y_2 - z - x)\} \end{aligned} \]

记\(Y_0\)为满足\(x\)一阶条件的值，则上述条件可以表示为

\[ \begin{aligned} O_z(x, z) & = - p^{'}[U(Y_0) - U(Y_0)] - U^{'}(Y_0) \\ & = - U^{'}(Y_0) < 0 \end{aligned} \]

当存在完全保险时，谨慎行为所获得的边际收益消失了，但边际成本仍然为正。因而谨慎行为的最优值位于角点\(z = 0\)处，即存在道德风险问题。

连续变量下的不确定性问题

假设存在一个事件连续统\([\underline{r}, \overline{r}]\)，随机变量\(r\)代表事件，概率密度函数为\(f(r)\)。期望效用函数为

\[ E[U(Y)] = \int_{\underline{r}}^{\underline{r}}U(Y(r))f(r)dr \]

类似地，\(Y\)的期望收益为

\[ E[Y] = \int_{\underline{r}}^{\underline{r}}Y(r)f(r)dr \]

因此\(U^{''} < 0\)意味着

\[ U[E(Y)] > E[U(Y)] \]

风险资产和无风险资产 I

一个投资者拥有初始财富\(W_0\)。投资于风险资产\(x\)产生总收益（本金加利息）\(x(1 + r)\)，其中\(r\)为一个随机变量，其密度函数为\(f(x)\)；无风险资产则支付零利息。最终的（随机）财富为

\[ W = (W_0 - x) + x(1 + r) = W_0 + xr, x \in [0, W_0] \]

投资者有严格凹的冯·诺依曼-摩根斯坦函数\(U\)，选择\(x\)以最大化

\[ E[U(W)] = \int_{\underline{r}}^{\overline{r}}U(W_0 + xr)f(r)dr \]

风险资产和无风险资产 II

因此，投资者的最优决策应满足

\[ O^{'}(x) = \int_{\underline{r}}^{\overline{r}}rU^{'}(W_0 + xr)f(r)dr = 0 \]

特别地

\[ O^{'}(0) = U^{'}(W_0)\int_{\underline{r}}^{\overline{r}}rf(r)dr = U^{'}(W_0)E[r] \]

如果风险资产利率的数学期望是正的(\(E[r] > 0\))，则\(O^{'}(0)\)必为正。那么，\(x\)的最优值就不可能为零。

风险资产和无风险资产 III

如果\(\underline{r} > 0\)，那么对于所有的\(x\)，都有\(O^{'}(x) > 0\)， 而且将所有的\(W_0\)投资于风险资产是最优的。关于\(x\)的一阶条件是

\[ \int_{\underline{r}}^{\overline{r}}rU^{'}(W_0 + xr)f(r)dr = 0 \]

如果存在一个满足上述条件的\(x < W_0\)，则\(U\)的凹姓保证了它是全局最优值。

比较静态分析 I

假定初始财富\(W_0\)是可变的，将最大值函数写为\(O(x, W_0)\)，对其全微分可得

\[ dx/dW_0 = - O_{xw}(x, W_0)/O_{xx}(w, W_0) \]

由二阶条件可知，上式分母为负，因此\(dx/dW_0\)的符号取决于二阶交叉导数的符号。而分子

\[ O_{xw}(x, W_0) = \int_{\underline{r}}^{\overline{r}}rU^{''}(W_0 + xr)fr(r)dr \]

当且仅当\(\underline{r} < 0 < \overline{r}\)时，才存在一个可能的最优内点解\(x\)。

风险规避系数

定义一个冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数的绝对风险规避系数为

\[ A(W) = - U^{''}(W)/U^{'}(W) \]

• 如果\(A(W) < 0\)，意味着决策者是风险厌恶的；反之则是风险偏好的；

• 当\(|A(w)|\)越大时，意味着决策者的风险厌恶/偏好程度越大；

• 较为富有的投资者更能容忍给定的边际风险，因此预期\(A(W)\)应该是递减函数。

比较静态分析 II

如果绝对风险规避系数\(A(W)\)是财富的递减函数，那么富有的投资者将持有更有的风险资源。注意到，如果\(r < 0\)，则

\[ - U^{''}(W_0 + xr)/U^{'}(W_0 + xr) > - U^{''}(W0)/U^{'}(W0) = A(W0) \]

两边乘以\(-r\)有

\[ rU^{''}(W0 + xr)/U^{'}(W0 + xr) > -r A(W0) \]

即

\[ rU^{''}(W0 + xr) > -A(W0)rU^{'}(W0 + xr) \]

比较静态分析 III

类似地，对\(r >0\)同样有

\[ rU^{''}(W0 + xr) > -A(W0)rU^{'}(W0 + xr) \]

因此，对任意区间的\(r\)积分有

\[ \int_{\underline{r}}^{\overline{r}}rU^{''}(W0 + xr) f(r) dr > - A(W0)\int_{\underline{r}}^{\overline{r}}rU^{'}(W0 + xr)f(r)dr = 0 \]

这意味着，\(dx/dW0 >0\)。换言之，随着初始财富\(W0\)的增加，最优风险资产持有\(x\)会上升。

投资组合选择 I

假设投资者的目标函数可以表示成财富的均值\(M\)和标准差\(S\)的一个函数，在期望效用函数框架中，这对应着两种特殊情况

如果冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数是二次的 \[ U(W) = W - \frac{1}{2}aW^2, a > 0 \]

那么 \[ E[U(W)] = M - \frac{1}{2}a(M^2 + S^2) \]

投资组合选择 II

• 如果每一种资产都有正态分布的回报，那么财富也是正态分布的。并且任何冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数都可以用均值和方差来表示。例如 \[ U(W) = - exp(-aW), a >0 \]

• 其期望为 \[ E[U(W)] = - exp(- a[M - \frac{1}{2}aS^2]) \]

• 当\((M - \frac{1}{2}aS^2)\)达到最大值时，期望效用也达到最大。同时，对于这个函数而言，绝对风险规避系数为常数，并且等于\(a\)。

投资组合选择 III

• 假设初始财富始终不变，且标准化为1；

• 存在\(n\)种资产，且总收益可以写作\(r = (r_1, r_2, \cdots, r_n)\)，其数学期望为\(\mu = (\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n)\);

• 总收益的方差-协方差矩阵为\(\sum = (\sigma_{ij})\)；

• 投资组合即为投资于各种不同资产的财富比例向量\(x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)\)

投资组合选择问题本质上是要构建\(M\)和\(S\)之间的可行转换边界。

投资组合选择 IV

因此，随机的最终财富为

\[ W = \sum_{i = 1}^n x_i r_i = x^{T}r \]

最终财富的均值和方差分别为

\[ \begin{aligned} M & = \sum_{i =1}^n x_i \mu_i = x^{T}\mu \\ S^2 & = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i x_j \sigma_{ij} = x^{T}\sum x \end{aligned} \]

注意\(M\)和\(S^2\)都是\(x\)的函数。

可行转化边界 I

为了找到\(M\)和\(S\)之间的可行转换边界，对于给定的均值要最小化标准差，即

\[ \begin{aligned} min\quad & S = (x^{T}\sum x)^{1/2} \\ s.t.\quad & x^{T}\mu = M, x^{T} e = 1 \end{aligned} \]

在两种资产的情况下，令\(x\)代表\(x_1\)，那么\(x_2 = 1 - x\)。因而

\[ M = \mu_2 + (\mu_1 - \mu_2)x \]

且

\[ S^2 = \sigma_2^2 - 2K_{2}x +(K_1 + K_2) x^2 \]

其中

\[ K_1 \equiv \sigma_1^2 - \rho \sigma_1 \sigma_2, K_2 \equiv \sigma_1^2 - \rho \sigma_1 \sigma_2 \]

可行转化边界 II

将资产排序确保\(\mu_1 > \mu_2\)。当\(x\)从0增加到1，\(M\)从\(\mu_2\)增加到\(\mu_1\)，且\(S\)从\(\sigma_2\)变到\(\sigma_1\)时，沿此方向有

\[ SdS/dx = - K_2 + (K_1 + K_2)x \]

因此，在\(x = 0\)处

\[ dS/dx = - (\sigma_2 - \rho \sigma_1) \]

以及在\(x = 1\)处

\[ dS/dx = \sigma_1 - \rho \sigma_2 \]

可行转化边界 III

• 如果\(\sigma_1 > \sigma_2\)，那么在两个完全专门化的投资组合之间，存在风险-收益的权衡。因此在\(x = 1\)附近\(dS/dx\)肯定为正。

• 即使\(\sigma_1 < \sigma_2\)，即资产1完全优于资产2，只要\(\rho\)足够小，也可能通过混合两种资产而得到分散化的收益，从而也存在一个权衡。

• 更一般地，方差最小的投资组合由下式给出 \[ x = \frac{K_1}{K_1 + K_2} = \frac{\sigma_2^2 - \rho \sigma_1 \sigma_2}{(\sigma_1^2 - \rho \sigma_1 \sigma_2) + (\sigma_2^2 - \rho \sigma_1 \sigma_2)} \]

• 从上式看，\(x \in [0,1]\)，即不存在任何卖空行为。

可行转化边界 IV

对 \(dS/dx = - K_2 + (K_1 + K_2)x\) 两边同时再次微分

\[ \begin{aligned} K_1 + K_2 & = S d^2S/dx^2 + dS/dx dS/dx \\ & = Sd^2S/dx^2 + (dS/dx)^2 \end{aligned} \]

而根据 \(SdS/dx = - K_2 + (K_1 + K_2)x\) 化简可得\(d^2S/dx^2\)的符号取决于\((1 - \rho^2)\sigma_1^2\sigma_2^2\)，即

\[ d^2S/dx^2 > 0. \]

因此，在\((M, S)\)空间内，可行转化边界函数为凸的。

均值-方差框架下的投资组合选择

有一种无风险资产时的投资组合选择

管理者的激励 I

假设企业所有者必须雇佣一个管理者来经营某项目：

• 如果项目成功的话，该项目将产生价值\(V\)

• 在高质量工作的情况下，项目成功的概率为\(p\)，在低质量工作的情况下，项目成功的概率为\(q\)

• 吸引一个管理者的基本薪水为\(w\)，为了实现高质量他必须更加努力，并且只有当他得到奖金\(e\)时他才会这么做

• 企业所有者和管理者都是风险中性的

管理者的激励 II

假定企业所有者可以观察到管理者的工作质量：

• 高质量工作期望利润：\(pV - (w + e)\)

• 低质量工作期望利润：\(qV - w\)

高质量工作利润必须满足：

• \((p - q)V > e\) （比较优势）

• \(pV > w + e\) （正利润）

当无法观察努力时，差异性工作方案：

• 成功时支付\(x\)，失败时支付\(y\)。激励相容条件为：

\[ (p - q)(x - y) \geq e \]

管理者的激励 III

参与约束： \[ px + (1-p)y \geq w + e \]

所有者利润最大化： \[ \pi = pV - [px + (1-p)y] \]

受约束于： \[ \begin{aligned} (p - q)(x - y) & \geq e \\ y + p(x - y) & \geq w + e \end{aligned} \]

管理者的激励 V

最优解特征： \[ \begin{aligned} x - y & = e/(p - q) \\ y & = w - eq/(p - q) \\ \pi & = pV - w - e \end{aligned} \]

成本加成合约 I

政府采购的特殊性：

• 信息不对称下的成本造假风险

• 需设计激励相容方案

关键约束条件：

• 个体理性约束 \(R_i \geq c_i q_i\)

• 激励相容约束 \(\begin{cases} R_1 - c_1 q_1 \geq R_2 - c_1 q_2 \\ R_2 - c_2 q_2 \geq R_1 - c_2 q_1 \end{cases}\)